应用场景
CFASample 类用于生成经典的分形图案，基于迭代函数系统（IFS, Iterated Function System）。主要应用场景包括：
- 分形图案生成：生成经典分形几何图案
- 教学演示：展示分形几何的基本原理
- 测试数据：为分形分析算法提供测试数据
- 艺术创作：生成美观的分形艺术图案
- 算法验证：验证分形维度计算的正确性
调用示例
康托集 (Cantor Set)
from FreeAeonFractal.FASample import CFASample
from FreeAeonFractal.CFAVisual import CFAVisual
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成康托集（分形维度 ≈ 0.63）
cantor = CFASample.get_Cantor_Set( init_point=np.array([0.0]), iterations=2000 )# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 2)) CFAVisual.plot_1d_points(cantor) plt.title('Cantor Set (Dimension ≈ 0.63)') plt.show()谢尔宾斯基三角形 (Sierpinski Triangle)
# 生成谢尔宾斯基三角形（分形维度 ≈ 1.58）
triangle = CFASample.get_Sierpinski_Triangle(
init_point=np.array([0.0, 0.0]),
iterations=10000
)
# 可视化
plt.figure(figsize=(8, 8)) CFAVisual.plot_2d_points(triangle) plt.title('Sierpinski Triangle (Dimension ≈ 1.58)') plt.axis('equal') plt.show()巴恩斯利蕨 (Barnsley Fern)
# 生成巴恩斯利蕨（分形维度 ≈ 1.67）
fern = CFASample.get_Barnsley_Fern(
init_point=np.array([0.0, 0.0]),
iterations=50000
)
# 可视化
plt.figure(figsize=(6, 10)) CFAVisual.plot_2d_points(fern) plt.title('Barnsley Fern (Dimension ≈ 1.67)') plt.axis('equal') plt.show()门格海绵 (Menger Sponge)
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# 生成门格海绵（3D分形）
sponge = CFASample.get_Menger_Sponge( init_point=np.array([0.0, 0.0, 0.0]), iterations=100000 )# 可视化
fig = plt.figure(figsize=(10, 10)) ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') CFAVisual.plot_3d_points(sponge, ax) ax.set_title('Menger Sponge (3D Fractal)') plt.show()点集转换为图像
# 生成谢尔宾斯基三角形
points = CFASample.get_Sierpinski_Triangle(iterations=50000)
# 转换为图像
image = CFASample.get_image_from_points( points, img_size=(512, 512), margin=0.05 )# 可视化
plt.figure(figsize=(8, 8)) CFAVisual.plot_2d_image(image, cmap='binary') plt.title('Sierpinski Triangle as Image') plt.show()安装
pip install FreeAeon-Fractal
类说明
CFASample
描述：分形样本生成器，使用迭代函数系统（IFS）生成经典分形图案。所有方法都是静态方法，使用 CFASample.方法名() 调用。
静态方法
##### 1. get_Cantor_Set(init_point=np.array([0.0]), iterations=256)
描述：生成康托集（1D分形）。 参数：init_point(numpy.ndarray): 初始点，形状为 (1,)，默认 [0.0]iterations(int): 迭代次数，默认256
- 经典的1D分形集合
- 自相似结构
- 处处不连续
##### 2. get_Sierpinski_Triangle(init_point=np.array([0.0, 0.0]), iterations=256)
描述：生成谢尔宾斯基三角形（2D分形）。 参数：init_point(numpy.ndarray): 初始点，形状为 (2,)，默认 [0.0, 0.0]iterations(int): 迭代次数，默认256
- 经典的2D分形图案
- 三角形自相似结构
- 迭代越多，图案越精细
- 预览：1,000-5,000
- 详细：10,000-50,000
- 高精度：100,000+
##### 3. get_Barnsley_Fern(init_point=np.array([0.0, 0.0]), iterations=4096)
描述：生成巴恩斯利蕨（2D分形，模拟蕨类植物）。 参数：init_point(numpy.ndarray): 初始点，形状为 (2,)iterations(int): 迭代次数，默认4096
- 模拟自然界蕨类植物
- 四个仿射变换
- 概率选择变换
- 预览：5,000-10,000
- 详细：50,000-100,000
- 高精度：200,000+
##### 4. get_Menger_Sponge(init_point=np.array([0.0, 0.0, 0.0]), iterations=10240)
描述：生成门格海绵（3D分形）。 参数：init_point(numpy.ndarray): 初始点，形状为 (3,)iterations(int): 迭代次数，默认10240
- 3D自相似结构
- 20个仿射变换
- 计算密集
- 预览：10,000-50,000
- 详细：100,000-500,000
- 注意：迭代次数越多，计算时间越长
##### 5. get_4D_Points(init_point=np.array([0.0, 0.0, 0.0, 0.0]), iterations=4096)
描述：生成4D分形点集（用于测试和研究）。 参数：init_point(numpy.ndarray): 初始点，形状为 (4,)iterations(int): 迭代次数，默认4096
##### 6. get_image_from_points(points, img_size=(512, 512), margin=0.05)
描述：将2D点集转换为图像。 参数：points(numpy.ndarray): 2D点数组，形状为 (N, 2)img_size(tuple): 输出图像尺寸 (height, width)margin(float): 边缘留白比例，默认0.05 (5%)
- 点的位置：255（白色）
- 背景：0（黑色）
# 生成分形点集
points = CFASample.get_Sierpinski_Triangle(iterations=50000)
# 转换为高分辨率图像
image = CFASample.get_image_from_points( points, img_size=(1024, 1024), margin=0.1 )# 保存或分析
cv2.imwrite('sierpinski.png', image)# 计算分形维度
from FreeAeonFractal.FAImageDimension import CFAImageDimension fd = CFAImageDimension(image).get_bc_fd() print(f"计算得到的分形维度: {fd['fd']:.4f}") print(f"理论分形维度: 1.58")##### 7. generate(init_point, iterations, trans_matrix, trans_probability)
描述：通用的IFS生成器（底层方法）。 参数：init_point(numpy.ndarray): 初始点iterations(int): 迭代次数trans_matrix(numpy.ndarray): 变换矩阵列表trans_probability(numpy.ndarray): 选择每个变换的概率
# 自定义简单的2D分形
custom_matrix = np.array([
[[0.5, 0.0, 0.0], [0.0, 0.5, 0.0]], # 缩小到左下
[[0.5, 0.0, 0.5], [0.0, 0.5, 0.5]] # 缩小到右上
])
custom_prob = np.array([0.5, 0.5])
points = CFASample.generate(
init_point=np.array([0.0, 0.0]), iterations=10000, trans_matrix=custom_matrix, trans_probability=custom_prob )CFAVisual.plot_2d_points(points)
plt.show()理论背景
迭代函数系统（IFS）
IFS由一组仿射变换和对应的概率组成：
{(T₁, p₁), (T₂, p₂), ..., (Tₙ, pₙ)}
其中：
- Tᵢ: 仿射变换矩阵
- pᵢ: 选择该变换的概率
- Σpᵢ = 1
生成过程
1. 从初始点 x₀ 开始
2. 在每次迭代中： - 根据概率 pᵢ 随机选择一个变换 Tᵢ - 应用变换：xₙ₊₁ = Tᵢ(xₙ) - 记录新点 3. 重复指定次数仿射变换
2D仿射变换形式：
[x'] [a b] [x] [e]
[y'] = [c d] [y] + [f]
矩阵表示：
[x'] [a b e] [x]
[y'] = [c d f] [y]
[1 ] [0 0 1] [1]
经典分形图案说明
1. 康托集 (Cantor Set)
- 维度: log(2)/log(3) ≈ 0.6309
- 变换数: 2个
- 特点: 最简单的分形集合，处处不连续
- 应用: 测试分形维度算法
2. 谢尔宾斯基三角形 (Sierpinski Triangle)
- 维度: log(3)/log(2) ≈ 1.585
- 变换数: 3个
- 特点: 自相似三角形，边界无限长
- 应用: 2D分形的经典示例
3. 巴恩斯利蕨 (Barnsley Fern)
- 维度: 约 1.67
- 变换数: 4个
- 特点: 模拟自然蕨类植物
- 应用: 展示分形在自然界的应用
4. 门格海绵 (Menger Sponge)
- 维度: log(20)/log(3) ≈ 2.727
- 变换数: 20个
- 特点: 3D自相似结构，表面积无限
- 应用: 3D分形示例
应用示例
验证分形维度算法
import numpy as np
from FreeAeonFractal.FASample import CFASample
from FreeAeonFractal.FAImageDimension import CFAImageDimension
# 生成谢尔宾斯基三角形
points = CFASample.get_Sierpinski_Triangle(iterations=100000)# 转换为图像
image = CFASample.get_image_from_points(points, img_size=(1024, 1024))# 计算分形维度
fd = CFAImageDimension(image).get_bc_fd()print(f"计算得到的分形维度: {fd['fd']:.4f}")
print(f"理论分形维度: 1.585") print(f"相对误差: {abs(fd['fd'] - 1.585) / 1.585 * 100:.2f}%")批量生成测试图像
import cv2
# 生成多个分形图案
fractals = { 'sierpinski': CFASample.get_Sierpinski_Triangle(iterations=50000), 'fern': CFASample.get_Barnsley_Fern(iterations=50000) }# 转换为图像并保存
for name, points in fractals.items(): image = CFASample.get_image_from_points(points, img_size=(512, 512)) cv2.imwrite(f'{name}.png', image) print(f"Saved {name}.png")多重分形谱分析
from FreeAeonFractal.FA2DMFS import CFA2DMFS
# 生成分形图像
points = CFASample.get_Barnsley_Fern(iterations=100000) image = CFASample.get_image_from_points(points, img_size=(512, 512))# 多重分形谱分析
mfs = CFA2DMFS(image, q_list=np.linspace(-5, 5, 21)) df_mass, df_fit, df_spec = mfs.get_mfs()# 可视化
mfs.plot(df_mass, df_fit, df_spec)安装
pip install FreeAeon-Fractal
类说明
CFASample
描述：分形样本生成器，基于迭代函数系统（IFS）生成经典分形图案。静态方法列表
##### 主要生成方法
| 方法 | 维度 | 分形维度 | 变换数 | 默认迭代 |
| ------ | ------ | ---------- | -------- | ---------- |
get_Cantor_Set() | 1D | 0.63 | 2 | 256 |
get_Sierpinski_Triangle() | 2D | 1.58 | 3 | 256 |
get_Barnsley_Fern() | 2D | 1.67 | 4 | 4096 |
get_Menger_Sponge() | 3D | 2.73 | 20 | 10240 |
get_4D_Points() | 4D | - | 4 | 4096 |
##### 工具方法
generate(): 通用IFS生成器get_image_from_points(): 点集转图像
IFS变换矩阵
康托集变换
g_m_Cantor_Set = np.array([
[[1/3, 0]], # 缩小到左1/3
[[1/3, 2/3]] # 缩小到右1/3
])
g_p_Cantor_Set = np.array([0.5, 0.5])
谢尔宾斯基三角形变换
三个变换分别将三角形缩小到左下、右下和顶部。巴恩斯利蕨变换
四个变换模拟蕨类植物的茎、叶和分支结构。重要提示
1. 迭代次数：
- 越多越精细，但计算时间线性增长 - 1D: 1,000-10,000 - 2D: 10,000-100,000 - 3D: 50,000-500,0002. 初始点：
- 通常使用原点 - 不同初始点收敛到相同吸引子3. 点集转图像：
-img_size 影响图像分辨率
- margin 影响边缘留白
- 点密度影响图像质量
4. 性能：
- 迭代计算较快（向量化） - 3D可视化可能较慢 - 大迭代次数需要较多内存5. 应用：
- 生成测试数据验证算法 - 教学演示分形概念 - 艺术创作自定义分形
创建自定义IFS
# 定义自己的分形变换
my_transforms = np.array([
[[0.5, 0.0, 0.0], [0.0, 0.5, 0.0]], # 缩小到左下
[[0.5, 0.0, 0.5], [0.0, 0.5, 0.0]], # 缩小到右下
[[0.5, 0.0, 0.25], [0.0, 0.5, 0.5]] # 缩小到上方中间
])
my_probabilities = np.array([0.33, 0.33, 0.34])
# 生成自定义分形
custom_fractal = CFASample.generate( init_point=np.array([0.0, 0.0]), iterations=20000, trans_matrix=my_transforms, trans_probability=my_probabilities )# 可视化
CFAVisual.plot_2d_points(custom_fractal) plt.title('Custom Fractal') plt.axis('equal') plt.show()常见问题
Q: 为什么图案不清晰？
A: 增加迭代次数。2D分形建议至少10,000次，3D分形建议50,000次以上。Q: 如何计算生成图案的分形维度？
A: 使用get_image_from_points() 转换为图像，然后用 CFAImageDimension 计算。
Q: 3D可视化很慢？
A: 减少点数或使用更简单的标记样式。Q: 如何创建自己的分形？
A: 使用generate() 方法，定义自己的变换矩阵和概率。
Q: 点集能保存吗？
A: 可以用np.save() 保存，np.load() 加载。
参考文献
- Barnsley, M. F. (1993). Fractals Everywhere (2nd ed.).
- Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature.
- Hutchinson, J. E. (1981). Fractals and self-similarity. Indiana University Mathematics Journal.