多重分形谱分析 - CFAImageMFS

2D图像多重分形谱分析

应用场景

CFAImageMFS 类用于计算2D灰度图像的多重分形谱（Multifractal Spectrum），是分析图像复杂度和异质性的高级工具。主要应用场景包括：

调用示例

基础用法

import cv2 import numpy as np from FreeAeonFractal.FAImageMFS import CFAImageMFS

# 读取并转换为灰度图像

rgb_image = cv2.imread('./images/face.png') gray_image = cv2.cvtColor(rgb_image, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

# 创建多重分形谱分析对象

q_list = np.linspace(-5, 5, 26) MFS = CFAImageMFS(gray_image, q_list=q_list)

# 计算多重分形谱

df_mass, df_fit, df_spec = MFS.get_mfs()

# 查看结果

print(df_spec)

# 可视化结果

MFS.plot(df_mass, df_fit, df_spec)

GPU加速版本

# 使用GPU加速版本 from FreeAeonFractal.FAImageMFSGPU import CFAImageMFSGPU as CFAImageMFS

# 其余代码相同

MFS = CFAImageMFS(gray_image, q_list=np.linspace(-5, 5, 26)) df_mass, df_fit, df_spec = MFS.get_mfs()

局部Holder指数图（逐像素奇异度）

from FreeAeonFractal.FAImageMFS import CFAImageMFS

MFS = CFAImageMFS(gray_image)

alpha_map = MFS.compute_alpha_map(scales=None, roi_mode="center", empty_policy="nan")

CFAImageMFS.plot_alpha_map(alpha_map)

批量处理

import glob, cv2 from FreeAeonFractal.FAImageMFS import CFAImageMFS

images = [cv2.imread(f, cv2.IMREAD_GRAYSCALE) for f in glob.glob('./images/*.png')]

results = CFAImageMFS.get_batch_mfs(images, q_list=np.linspace(-5, 5, 26)) for df_mass, df_fit, df_spec in results: print(df_fit[['q','tau','Dq']].head())

安装

pip install FreeAeon-Fractal

类说明

CFAImageMFS

描述：基于盒计数方法计算2D灰度图像多重分形谱的类。

初始化参数

参数类型默认值说明
imagenumpy.ndarray必需输入灰度图像（2D数组）
corp_typeint-1图像裁剪类型（-1:裁剪, 0:严格匹配, 1:填充）
q_listarray-likelinspace(-5,5,51)q值列表
with_progressboolTrue是否显示进度条
bg_thresholdfloat0.01背景阈值（低于此值的像素被屏蔽）
bg_reverseboolFalse是否反转背景阈值
bg_otsuboolFalse是否使用Otsu阈值化检测背景
mu_floorfloat1e-12最小概率下限（向后兼容保留）

主要方法

##### 1. get_mass_table(max_size=None, max_scales=80, min_box=2, roi_mode="center")

描述：计算所有尺度和q值下的配分函数表。 返回值：DataFrame，列 scale, eps, q, value, kind

##### 2. fit_tau_and_D1(df_mass, min_points=6, ...)

描述：从质量表拟合τ(q)和D(q)。 返回值（DataFrame）：列 q, tau, Dq, D1, intercept, r_value, p_value, std_err, n_points 注意：q=0行使用log(N)拟合；q=1行使用Shannon熵(S)拟合；其他q使用logMq拟合。df_fit中始终包含强制的q=0和q=1行。

##### 3. alpha_falpha_from_tau(df_fit, spline_k=3, exclude_q1=True, spline_s=0)

描述：通过对τ(q)的样条微分计算α(q)和f(α)。 参数： 返回值：多重分形谱DataFrame，列 q, tau, Dq, alpha, f_alpha

##### 4. get_mfs(max_size=None, max_scales=80, min_points=6, min_box=2, ...)

描述：完整的多重分形谱分析流程，返回质量表、拟合结果和谱参数。 返回值 (tuple):
(df_mass, df_fit, df_spec)
- scale: 盒子尺寸 - eps: 归一化尺度 - q: q值 - value: 根据kind不同含义不同 - kind: 值类型（'logMq', 'N', 'S'） - q: q值 - tau: τ(q) 质量指数 - Dq: D(q) 广义维度 - D1: D1 信息维度（仅q=1时） - intercept: 拟合截距 - r_value: 相关系数 - p_value: p值 - std_err: 标准误差 - n_points: 拟合点数 - q: q值 - tau: τ(q) - Dq: D(q) - alpha: α(q) 奇异性强度 - f_alpha: f(α) 多重分形谱

##### 5. compute_alpha_map(scales=None, roi_mode="center", empty_policy="nan")

描述：通过流式OLS结合嵌套网格优化，计算逐像素的局部Holder指数α。 返回值：局部α值的2D numpy数组。

##### 6. compute_alpha_map_batch(images, ...) [静态方法]

描述：批量计算alpha图。

##### 7. plot(df_mass, df_fit, df_spec)

描述：可视化多重分形谱分析结果，包含6个子图： 1. log M(q, ε) 热图 2. f(α) vs α 多重分形谱 3. τ(q) vs q 4. D(q) vs q 广义维度 5. α vs q 6. f(α) vs q

理论背景

多重分形谱

多重分形谱描述了图像在不同尺度下的统计特性。核心参数包括：

1. 配分函数 (Partition Function)

M(q, ε) = Σ μᵢ^q
其中 μᵢ 是第i个盒子的归一化质量。

2. 质量指数 τ(q)

τ(q) = lim(ε→0) log M(q, ε) / log ε

3. 广义维度 D(q)

D(q) = τ(q) / (q - 1), q ≠ 1 D(1) = lim(ε→0) Σ μᵢ log μᵢ / log ε (信息维度)

特殊值：

4. 多重分形谱 f(α)

α(q) = dτ(q)/dq (奇异性强度) f(α) = qα - τ(q) (多重分形谱)

重要提示

1. 图像预处理：

- 输入必须是2D灰度图像 - 图像会自动归一化到 [0, 1] - 可使用 bg_threshold 去除背景；bg_otsu=True 自动检测背景

2. q值选择：

- 负q值对稀疏区域敏感 - 正q值对密集区域敏感 - 建议范围：-5 到 5 - 点数建议：20-50个

3. 尺度参数：

- max_scales 影响采样密度，建议60-80 - min_box 不要小于2 - 使用 roi_mode="center" 的固定ROI避免边界效应

4. 结果解释：

- f(α) 曲线越宽，多重分形性越强 - Δα = α_max - α_min 量化异质性 - D(q) 单调递减表示多重分形 - r_value 接近1表示良好拟合

5. 性能优化：

- 使用GPU版本（CFAImageMFSGPU）可显著加速 - GPU版本使用 q_chunk 和 img_chunk 控制显存用量 - 默认数据类型：单图像float64，批处理float32

常见问题

Q: D(0) > 2 怎么办？

A: 可以设置 cap_d0_at_2=True 限制D(0)≤2，或检查图像预处理是否正确。

Q: 如何判断是否为多重分形？

A: 检查 D(q) 是否随q单调变化，或者 f(α) 是否为凸函数且有一定宽度。

Q: 计算结果不稳定？

A: 增加 max_scales，使用 use_middle_scales=True，或调整 fit_scale_frac。

参考文献