序列多重分形谱分析 - CFASeriesMFS

1D序列多重分形谱分析

应用场景

CFASeriesMFS 类用于计算1D时间序列的多重分形谱，是分析序列复杂度和长程相关性的重要工具。主要应用场景包括：

调用示例

基础用法

import numpy as np from FreeAeonFractal.FASeriesMFS import CFASeriesMFS

# 生成随机游走序列

x = np.cumsum(np.random.randn(5000))

# 创建多重分形谱分析对象

q_list = np.linspace(-5, 5, 21) mfs = CFASeriesMFS(x, q_list=q_list)

# 计算多重分形谱

df_mfs = mfs.get_mfs()

# 查看结果

print(df_mfs)

# 可视化结果

mfs.plot(df_mfs)

使用推荐尺度函数

from FreeAeonFractal.FASeriesMFS import CFASeriesMFS, recommended_lag

# 使用推荐尺度函数

lag_list = recommended_lag(len(x), order=2, num_scales=40)

# 计算多重分形谱

df_mfs = mfs.get_mfs(lag_list=lag_list, order=2)

安装

pip install FreeAeon-Fractal

类说明

CFASeriesMFS

描述：基于MFDFA（多重分形去趋势波动分析）方法计算1D时间序列多重分形谱的类。

初始化参数

参数类型默认值说明
datanumpy.ndarray必需输入时间序列（1D数组）
q_listarray-likelinspace(-5,5,51)q值列表
with_progressboolTrue是否显示进度条

模块级辅助函数

recommended_lag(x_len, order=2, num_scales=40, s_min=None, s_max_ratio=0.25)

描述：为MFDFA生成推荐的尺度（lag）列表。 参数： 返回值：整数lag值的numpy数组 示例：
from FreeAeonFractal.FASeriesMFS import recommended_lag

lag = recommended_lag(5000, order=2, num_scales=40)

print(f"推荐尺度范围：{lag[0]} 到 {lag[-1]}")

主要方法

##### 1. get_mfs(lag_list=None, order=2)

描述：计算多重分形谱，包括广义Hurst指数、质量指数、奇异性强度和多重分形谱。 参数： 返回值 (pandas.DataFrame):

包含以下列的DataFrame：

列名说明
qq值
h(q)广义Hurst指数
t(q)τ(q) 质量指数
a(q)α(q) 奇异性强度
f(a)f(α) 多重分形谱
d(q)D(q) 广义维度
示例：
df_mfs = mfs.get_mfs() print(df_mfs.head()) # q h(q) t(q) a(q) f(a) d(q) # 0 -5.0 0.8234 -5.9170 0.9523 0.7445 1.9835 # 1 -4.0 0.7891 -4.1564 0.9012 0.7484 1.7854 # ...

##### 2. plot(df_mfs)

描述：可视化多重分形谱分析结果，包含6个子图：

1. H(q) vs q：广义Hurst指数

2. τ(q) vs q：质量指数 3. D(q) vs q：广义维度 4. α(q) vs q：奇异性强度 5. f(α) vs α：多重分形谱 6. 概览：所有指标的归一化比较 参数：

理论背景

MFDFA方法

多重分形去趋势波动分析（MFDFA）是DFA方法的推广，步骤如下：

1. 累积偏离

Y(i) = Σ[x(k) - x̄] (i = 1, 2, ..., N)

2. 分段去趋势

将Y(i)分为不重叠的大小为s的窗口，在每个窗口内拟合多项式并计算方差。

3. 波动函数

F²(s,v) = (1/s) Σ{Y[(v-1)s+i] - yᵥ(i)}²

4. q阶波动函数

Fq(s) = {(1/Ns) Σ[F²(s,v)]^(q/2)}^(1/q)

5. 尺度律

Fq(s) ~ s^h(q)
其中 h(q) 是广义Hurst指数。

多重分形参数

1. 质量指数 τ(q)

τ(q) = q·h(q) - 1

2. 奇异性强度 α(q)

α(q) = dτ(q)/dq = h(q) + q·dh(q)/dq

3. 多重分形谱 f(α)

f(α) = q·α(q) - τ(q)

4. 广义维度 D(q)

D(q) = τ(q) / (q - 1), q ≠ 1

参数解释

- h(2) = H (经典Hurst指数) - h(q) 单调递减表示多重分形 - Δh ≈ 0：单分形（均匀） - Δh > 0：多重分形（异质） - 谱宽 Δα = α_max - α_min - 谱宽越大，多重分形性越强

重要提示

1. 序列长度：

- 最小长度建议 ≥ 1000 - 长度越长，结果越稳定 - 对于短序列，减少尺度数量

2. q值选择：

- 负q值：对小波动敏感 - 正q值：对大波动敏感 - 建议范围：-5 到 5 - 点数建议：20-50

3. 尺度参数：

- order=1：适用于无趋势序列 - order=2：适用于线性趋势（推荐） - order=3：适用于二次趋势 - 使用 recommended_lag() 获取最优尺度

4. 结果解释：

- h(q) 单调递减：多重分形 - h(q) 恒定：单分形 - Δh > 0.1：显著多重分形 - f(α) 越宽：异质性越强

5. 性能考虑：

- 长序列计算较慢 - 减少q值数量可提速 - 使用 recommended_lag 函数优化尺度选择

应用示例

金融时间序列分析

import numpy as np import pandas as pd from FreeAeonFractal.FASeriesMFS import CFASeriesMFS

# 假设有股票收益率数据

returns = pd.read_csv('stock_returns.csv')['return'].values

# 多重分形分析

mfs = CFASeriesMFS(returns, q_list=np.linspace(-5, 5, 21)) df_mfs = mfs.get_mfs()

# 检查多重分形性

delta_h = df_mfs.loc[df_mfs['q'] == -5, 'h(q)'].values[0] - \ df_mfs.loc[df_mfs['q'] == 5, 'h(q)'].values[0]

if delta_h > 0.1:

print(f"显著多重分形特性，Δh = {delta_h:.3f}") else: print(f"单分形特性，Δh = {delta_h:.3f}")

# 可视化

mfs.plot(df_mfs)

生理信号分析

# 心率变异性(HRV)数据 hrv_data = load_hrv_data() # 假设函数

# 多重分形分析

mfs = CFASeriesMFS(hrv_data) df_mfs = mfs.get_mfs(order=2)

# 提取特征

h2 = df_mfs.loc[df_mfs['q'] == 2, 'h(q)'].values[0] # Hurst指数 alpha_0 = df_mfs['a(q)'].max() # 最大奇异性 width = df_mfs['a(q)'].max() - df_mfs['a(q)'].min() # 谱宽

print(f"Hurst指数: {h2:.3f}")

print(f"谱宽: {width:.3f}")

常见问题

Q: 序列太短怎么办？

A: 减少尺度数量（num_scales=20-30），或使用较小的 s_max_ratio。

Q: 如何判断是否为多重分形？

A: 检查 h(q) 是否单调递减，或 Δh 是否 > 0.1。

Q: order参数如何选择？

A: 对于平稳序列用1，有趋势用2，强趋势用3。一般情况推荐用2。

Q: 计算很慢？

A: 减少q值数量，减少尺度数量，或使用较短的序列。

参数依赖

本类依赖 MFDFA 库：

pip install MFDFA

参考文献